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<!DOCTYPE html>

<title>Gitterparameter</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Gitterparameter</h1>

</header>

</div>

Ein Gitterparameter oder eine Gitterkonstante, manchmal auch Zellparameter genannt, ist entweder eine <a href="L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">Längenangabe</a> oder ein <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a>, der zur Beschreibung eines <a href="Kristallgitter" class="mw-redirect" title="Kristallgitter">Gitters</a>, insbesondere der kleinsten Einheit des Gitters, der <a href="Elementarzelle" title="Elementarzelle">Elementarzelle</a>, benötigt wird. Der Gitterparameter ist entweder eine Seitenlänge der Elementarzelle oder ein Winkel zwischen den Kanten der Zelle. Gitterparameter sind bedeutend in der <a href="Kristallographie" title="Kristallographie">Kristallographie</a> und der <a href="Optik" title="Optik">Optik</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Das Gitter wird durch periodisches Verschieben einer Elementarzelle um jeweils denselben Abstand in eine bestimmte Raumrichtung erzeugt (<a href="Gittervektor" class="mw-redirect" title="Gittervektor">Gittervektor</a>):

<ul><li>Für ein eindimensionales <a href="Optisches_Gitter" title="Optisches Gitter">optisches Gitter</a> genügt ein einziger Gitterparameter, nämlich die Angabe des Abstandes benachbarter (<a href="Parallel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parallel (Geometrie)">paralleler</a>) Gitterelemente.</li>

<li>In zwei Dimensionen gibt es zwei verschiedene Gittervektoren und drei notwendige Gitterparameter – die Längen der beiden Gittervektoren und den Winkel zwischen ihnen.</li></ul>

<ul><li>Für die Beschreibung eines <a href="Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionalen</a> Gitters werden maximal sechs Parameter benötigt, drei Längen und drei Winkel. Diese sechs Parameter, die die Elementarzelle definieren, werden oft mit a, b, c und α, β, γ bezeichnet. Drei davon, a, b und c, sind die Längen der Gittervektoren, die die Elementarzelle aufspannen; die anderen drei, α, β und γ, sind die Winkel zwischen diesen Vektoren:

<ul><li>α der Winkel zwischen b und c,</li>

<li>β der Winkel zwischen a und c,</li>

<li>γ der Winkel zwischen a und b.</li></ul></li></ul>

Die Beschreibung eines Gitters durch Gitterparameter ist nicht eindeutig, verschiedene Sätze von Gitterparametern können dasselbe Gitter beschreiben. Daher wird in der Regel als Elementarzelle die <a href="Elementarzelle#Problematik_der_unterschiedlichen_Begriffe" title="Elementarzelle">konventionelle Zelle</a> verwendet. Bei dieser Wahl der Einheitszelle können in den einzelnen <a href="Kristallsystem" title="Kristallsystem">Kristallsystemen</a> bereits einzelne Gitterparameter festliegen, so dass die Anzahl der unabhängigen Gitterparameter verringert ist:

<th rowspan="2" colspan="2">Gittersystem

</th>

<th colspan="3">Gitterparameter

</th></tr>

<td>unabhängige GP

</td>

<td>Basisvektoren

</td>

<td>Winkel

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Kubisches_Kristallsystem" title="Kubisches Kristallsystem">kubisch</a>

</td>

<td>a

</td>

<td>a = b = c

</td>

<td>α = β = γ = 90°

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Tetragonal" class="mw-redirect" title="Tetragonal">tetragonal</a>

</td>

<td>a, c

</td>

<td>a = b ≠ c

</td>

<td>α = β = γ = 90°

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Hexagonal" class="mw-redirect" title="Hexagonal">hexagonal</a>

</td>

<td>a, c

</td>

<td>a = b ≠ c

</td>

<td>α = β = 90°, γ = 120°

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Rhomboedrisch" class="mw-redirect" title="Rhomboedrisch">rhomboedrisch</a> / trigonal

</td>

<td>a; α

</td>

<td>a = b = c

</td>

<td>α = β = γ ≠ 90°

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Orthorhombisch" class="mw-redirect" title="Orthorhombisch">orthorhombisch</a>

</td>

<td>a, b, c

</td>

<td>a ≠ b ≠ c

</td>

<td>α = β = γ = 90°

</td></tr>

<tr>

<td rowspan="2"><a href="Monoklines_Kristallsystem" title="Monoklines Kristallsystem">monoklin</a>

</td>

<td>1st setting

</td>

<td>a, b, c; γ

</td>

<td>a ≠ b ≠ c

</td>

<td>γ ≠ 90°, α = β = 90°

</td></tr>

<tr>

<td>2nd setting

</td>

<td>a, b, c; β

</td>

<td>a ≠ b ≠ c

</td>

<td>β ≠ 90°, α = γ = 90°

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><a href="Triklin" class="mw-redirect" title="Triklin">triklin</a> / anorthisch

</td>

<td>a, b, c; α, β, γ

</td>

<td>a ≠ b ≠ c

</td>

<td>α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bestimmung">Bestimmung</h2></div>

Zum direkten Vermessen der Parameter von kristallinen Stoffen können das <a href="Transmissionselektronenmikroskop" title="Transmissionselektronenmikroskop">Transmissionselektronenmikroskop</a> oder das <a href="Rastertunnelmikroskop" title="Rastertunnelmikroskop">Rastertunnelmikroskop</a> verwendet werden. Zumeist erfolgt die Ermittlung der Gitterparameter aber mittels <a href="Beugung_(Physik)" title="Beugung (Physik)">Beugungsmethoden</a>, beispielsweise mit der <a href="R%C3%B6ntgenbeugung" title="Röntgenbeugung">Röntgenbeugung</a>. Bei der <a href="R%C3%B6ntgenstrukturanalyse" class="mw-redirect" title="Röntgenstrukturanalyse">Röntgenstrukturanalyse</a> ist die Bestimmung der Gitterparameter der erste Schritt zur Bestimmung der vollständigen <a href="Kristallstruktur" title="Kristallstruktur">Kristallstruktur</a>.

Die Zellparameter von Oberflächenstrukturen können mit Hilfe der Beugung langsamer <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> (<a href="Low_Energy_Electron_Diffraction" class="mw-redirect" title="Low Energy Electron Diffraction">Low Energy Electron Diffraction</a>, LEED) bestimmt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Die Gitterparameter betragen:

<ul><li>von <a href="Silicium" title="Silicium">Silicium</a>, das eine <a href="Diamantstruktur" title="Diamantstruktur">Diamantstruktur</a> ausbildet: 543,102 0511(89) <a href="Meter#pm" title="Meter">pm</a><a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> (Die genaue Vermessung wurde im Vorfeld der <a href="Internationales_Einheitensystem#Seit_2019:_Definition_über_physikalische_Konstanten" title="Internationales Einheitensystem">Neudefinition</a> des <a href="Kilogramm" title="Kilogramm">Kilogramms</a> und des <a href="Mol" title="Mol">Mols</a> durchgeführt.)<a href="#cite_note-3">[3]</a></li>

<li>von <a href="Eisen" title="Eisen">Eisen</a> mit einem <a href="Kubisch_raumzentriert" class="mw-redirect" title="Kubisch raumzentriert">kubisch raumzentrierten</a> Gitter: 286,65 pm</li>

<li>für <a href="Kubisch_fl%C3%A4chenzentriert" class="mw-redirect" title="Kubisch flächenzentriert">kubisch flächenzentrierte</a> Strukturen

<ul><li><a href="Nickel" title="Nickel">Nickel</a>: 352,4 pm</li>

<li><a href="Kupfer" title="Kupfer">Kupfer</a>: 361,48 pm</li>

<li><a href="Silber" title="Silber">Silber</a>: 408,53 pm</li>

Der Gitterparameter beträgt in Einheiten der <a href="Bindungsl%C3%A4nge" title="Bindungslänge">Bindungslänge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy">:

<ul><li>im kubisch-primitiven Gitter:</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/975b1955bc669cad2ba38c4ba81ecb5085cef78d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.022ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=l}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>im kubisch-flächenzentrierten Gitter:</li></ul>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\sqrt {2}}\cdot l\approx 1{,}414\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {2}}\cdot a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feaabef3a0de5a63e66b144e653fc26ddb84ff7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:32.326ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle a={\sqrt {2}}\cdot l\approx 1{,}414\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {2}}\cdot a}{2}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>im kubisch-raumzentrierten Gitter:</li></ul>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 1{,}155\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd70e580d372a0816e205e40f98bb2dd77e94d9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.255ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle a={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 1{,}155\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{2}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>in der Diamantstruktur:</li></ul>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 2{,}309\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e06ca790cf92c9653b5303487dd0a1d58962db7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.255ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle a={\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\cdot l\approx 2{,}309\cdot l\Leftrightarrow l={\tfrac {{\sqrt {3}}\cdot a}{4}}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

Die <a href="Massendichte" class="mw-redirect" title="Massendichte">Massendichte</a> eines <a href="Kristallin" title="Kristallin">kristallinen</a> Stoffs lässt sich aus den Gitterparametern bestimmen. Im einfachen Fall kubischer Gitter ist die Dichte:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =n\cdot {\frac {A_{r}\cdot u}{a^{3}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba2cb59ae393b209e6fc5cb50c03746efe1a38ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.936ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \rho =n\cdot {\frac {A_{r}\cdot u}{a^{3}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>der Zahl n der ganzen <a href="Atom" title="Atom">Atome</a> je Elementarzelle:

<ul><li>8 für die Diamantstruktur</li>

<li>4 für das <a href="Kubisches_Kristallsystem#Bravaisgitter" title="Kubisches Kristallsystem">kubisch flächenzentrische Gitter</a></li>

<li>2 für das <a href="Kubisches_Kristallsystem#Bravaisgitter" title="Kubisches Kristallsystem">kubisch raumzentrische Gitter</a></li>

<li>1 für das kubische primitive Gitter</li></ul></li>

<li>der <a href="Atommasse" title="Atommasse">relativen Atommasse</a> Ar</li>

<li>der <a href="Atomare_Masseneinheit" title="Atomare Masseneinheit">atomaren Masseneinheit</a> u</li>

<li>dem Gitterparameter a.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Millersche_Indizes" title="Millersche Indizes">Millersche Indizes</a></li>

<li><a href="Vegardsche_Regel" title="Vegardsche Regel">Vegardsche Regel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?asil">CODATA Recommended Values.</a> National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AGitterparameter&rft.title=CODATA+Recommended+Values&rft.description=CODATA+Recommended+Values&rft.identifier=https%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcgi-bin%2Fcuu%2FValue%3Fasil&rft.publisher=National+Institute+of+Standards+and+Technology">  Gitterparameter von Silicium. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als <a href="CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten" class="mw-redirect" title="CODATA">geschätzte Standardabweichung</a> des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Die Messung der Gitterkonstante erfolgte mit Silicium natürlich vorkommender Isotopenzusammensetzung bei einer Temperatur von 22,5 °C im Vakuum, vgl. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20111015083051/http://physics.nist.gov/cuu/Archive/2002RMP.pdf">S. 33</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 15. Oktober 2011 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (PDF-Datei; 855 kB) und <a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/cuu/Constants/RevModPhys_80_000633acc.pdf">S. 676</a> (PDF-Datei; 2,02 MB).

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ptb.de/cms/forschung-entwicklung/forschung-zum-neuen-si/ptb-experimente/kilogramm-und-mol-atome-zaehlen.html">Kilogramm und Mol: Atome zählen</a> Mitteilung der <a href="Physikalisch-Technische_Bundesanstalt" title="Physikalisch-Technische Bundesanstalt">Physikalisch-Technische Bundesanstalt</a> abgerufen am 25. November 2018.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4343388-1">4343388-1</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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